Modellierung eines zufälligen Vorgangs

• \(\Omega\) = Grundraum = Menge aller möglichen Ausgänge
  • \(\omega \in \Omega\) = Elementarereigniss
• \(\mathcal A\) = Klasse aller beobachtbaren Ereignisse
       = eine Menge der Teilmengen von \(\Omega\).
• \(P\) = Wahrscheinlichkeitsmass = eine Abbildung von \(\mathcal A\) nach \([0,1]\)
  • \(P(A)\) oder \(P[A]\) = Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(A\) eintritt.

Das Trippel \((\Omega, \mathcal A, P)\) heisst Wahrscheinlichkeitsraum

Würfeln eines Würfels:

• \(\Omega = \{1,\dots, 6\}\)
• \(\mathcal A = \mathcal P(\Omega)\) = Potenzmenge von \(\Omega\)
  Beispiele der Ereignisse:
  • \(\{\ \}=\emptyset\)
  • \(\{1\}\) = der Würfel zeigt “1”.
  • \(\{2,4,6\}\) = das Ergebnis ist gerade
• \(P(A) = \frac 16 |A|\).

Lebensdauer einer Glühbirne:

• \(\Omega = [0,\infty) = \mathbb R_{+}\)
• \(\mathcal A\) - Details werden später diskutiert
  Beispiele der Ereignisse:
  • \([x,\infty)\) = die Glühbirne funktioniert mehr als \(x\) Tage.
  • \(\mathbb R_+ = \Omega\)
• \(P(A)\) - wird später diskutiert

Unendlich viele Würfe einer Münze

• \(\Omega = \{0,1\}^{\mathbb N}\) = Menge aller unendlichen \(0,1\)-Folgen
  \(\omega = (\omega_1,\omega_2,\dots)\), \(\omega_i\in \{0,1\}\).

• \(\mathcal A\) - Details werden später diskutiert
  Beispiele der Ereignisse:
  • vierter Wurf ist Kopf = \(\{\omega\in \Omega: \omega_4 =1\}\),
    wenn \(1\) für Kopf und \(0\) für Zahl steht.
  • genau ein Kopf in den ersten 5 Würfen = \(\{\omega \in \Omega: \omega_1+ \dots + \omega_5 =1\}\).

• \(P\) - Übung: Welche W-keiten haben die zwei Beispielereignisse?