Wir setzen voraus, dass \(\Omega\) endlich oder abzählbar ist.

In diesem Fall nehmen wir \(\mathcal A = \mathcal P(\Omega) =\) die Potenzmenge von \(\Omega\),

und setzen voraus, dass für jedes \(\omega \in \Omega\) die W-keit \(p(\omega)\in [0,1]\) gegeben ist, so dass

\[\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega) =1 \]

Wir definieren

\[P(A) = \sum_{\omega\in A} p(\omega).\]

Von den Vorausetzungen haben wir die folgende Eigenschaften hergeleitet:

• Normierung: \[ P(\Omega) =1 \]

• \(\sigma\)-Additivität: Für alle Ereignisse \(A_1\), \(A_2\), die paarweise disjunkt sind \[ P\Big(\bigcup_{i\ge 1} A_i\Big) = \sum_{i\ge 1} P(A_i).\]

Wir werden diese Eigenschaften später als Axiome der W-keit nutzen, in diesen Fall sind sie aber Konsequenzen der Definition von \(P\).

(Normierung) und (\(\sigma\)-Additivität) implizieren direkt:

• \(P(\emptyset) =0\) und \(P(A^c) = 1 - P(A)\),
• Endliche Additivität: Für paarweise diskunte Ereignisse \(A_1,\dots,A_n\) \[ P\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{i=1}^n P(A_i),\]
• Monotonie: Wenn \(A\subset B\) zwei Ereignisse sind, dann \[ P(A) \le P(B),\]
• Für beliebige zwei Ereignisse \(A\), \(B\): \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\]

Definition: Jede Funktion \(X\) von \(\Omega\) nach \(\mathbb R\) heisst Zufallsvariable oder Zufallsgrösse

Beispiel: (Zwei Würfel) Wir setzen \(\Omega = \{ \omega=(\omega_1,\omega_2): 1\le \omega_1,\omega_2\le 6\}\) und \(p(\omega) = 1/36\) für alle \(\omega\in \Omega\). Daher,

\[P(A) = |A|/36.\]

Auf diesem W-Raum, können wir z.B. die Folgenden ZV’n betrachten:

• \(X_1(\omega) = \omega_1\) - die Augenzahl auf dem 1. Würfel
• \(X_2(\omega) = \omega_2\) - die Augenzahl auf dem 2. Würfel
• \(S = X_1 + X_2\), d.h. \(S(\omega) = X_1(\omega)+ X_2(\omega)\) - die Summe beider Würfel.