• \(\Omega\) endliche oder abzählbare Menge.
• \(\mathcal A = \mathcal P(\Omega) =\) die Potenzmenge von \(\Omega\),
• Annahme: für jedes \(\omega \in \Omega\) ist die W-keit \(p(\omega)\in [0,1]\) gegeben, mit \(\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega) =1\). Wir setzen \[P(A) = \sum_{\omega\in A} p(\omega).\]

Definition: Jede Funktion \(X\) von \(\Omega\) nach \(\mathbb R\) heisst Zufallsvariable

Definition: Die Verteilung einer Zufallsvariable ist ein W-Mass \(P_X\) auf \((\Omega_X:=X(\Omega), \mathcal P(\Omega_X) )\) definiert für jedes \(A\subset \Omega_X\) durch \[ P_X(A) = \sum_{\omega: X(\omega) \in A} p(\omega) = P(\{\omega\in \Omega:X(\omega)\in A\}),\] Beispiel: (Zwei Würfel - Fortsetzung)

• Die Verteilung von \(X_1\) ist die Gleichverteilung auf \(\{1,\dots,6\}\), d.h.

\[P_{X_1}(A) = |A|/6, \qquad \text{für jedes }A\subset \{1,\dots,6\}.\]

• Die Verteilung von S: Hausaufgabe

Definition: Jeder ZV \(X\) ordnen wir den Erwartungswert \[ EX = E(X) := \sum_{\omega\in \Omega} p(\omega)X(\omega),\] sofern die Summe auf der rechten Seite definiert ist (d.h. ist absolut konvergent)

Lemma: Sei \(X\) eine ZV mit Verteilung \(P_X\). Dann ist \[ EX = \sum_{x\in \Omega_X} x P_X(\{x\}) = \sum_{x\in \Omega_X} x P(X=x).\]

Lemma: Sei \(A\in \mathcal A\) ein Ereigniss. Dann \[ P(A)= E(\boldsymbol 1_A), \] wobei \(\boldsymbol 1_A\) die Indikatorfunktion von \(A\) ist.

Lemma: (Linearität des EWs)
Seien \(X,Y\) zwei ZVn auf dem gleichen W-Raum \((\Omega,\mathcal A,P)\) und \(a,b\in \mathbb R\). Dann \[ E(aX + bY) = a EX + b EY,\] sofern die beide Seiten definiert sind.

Lemma: Sei \(X\) eine ZV die nur die Werte \(0,1,2,\dots\) annimmt. Dann \[ E X = \sum_{n\ge 0} P(X>n).\]

Laplace-Modelle sind die einfachsten Modelle der W-Theorie:

• \(\Omega\) ist eine endliche Menge

• \(p(\omega)\) ist unabhängig von \(\omega\). Wegen der Normierung muss daher \[p(\omega) = \frac 1{|\Omega|} \qquad \text{für alle }\omega \in \Omega.\] Es folgt, dass \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \qquad \text{für alle }A\subset \Omega.\]