5. Vorlesung, 1. Oktober 2019

Zusammenfassung der 4. Vorlesung
Laplace-Modelle

  • \(\Omega\) ist eine endliche Menge

  • \(p(\omega)\) ist unabhängig von \(\omega\). Wegen der Normierung muss daher \[p(\omega) = \frac 1{|\Omega|} \qquad \text{für alle }\omega \in \Omega.\] Es folgt, dass \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \qquad \text{für alle }A\subset \Omega.\]

Beispiel 1 - Ziehen mit Zurücklegen

In einer Urne befinden sich \(N\) durchnummerierte Kugel, \(K\) rote mit Nummern \(1,\dots,K\) und \(N-K\) weisse. Es wird eine Stichprobe von \(n\) Kugeln durchgeführt, mit Zurücklegen.

  • \(\Omega = \{\omega=(\omega_1,\dots, \omega_n): 1\le \omega_i \le N\}\)
  • Laplace Modell: \(P(A)=|A|/|\Omega|= |A|/N^n\).

Beispiel 1 - Fortsetzung

Zufallsvariablen auf \(\Omega\):

  • \(R_i = 1\), wenn \(i\). Kugel rot ist, und \(R_i = 0\) sonst.

  • \(X = \sum_{i=1}^N R_i =\) Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe.

Wir haben gezeigt, dass \(X\) binomialverteilt mit paramenter \(n\) und \(p=K/N\) ist, d.h.

\[P(X=k) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,\dots,n.\]

Binomialverteilung

x = dbinom(0:40, size = 40, p = 0) 
barplot(x)

Binomialverteilung

x = dbinom(0:40, size = 40, p = 0.1) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Binomialverteilung

x = dbinom(0:40, size = 40, p = 0.2) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Binomialverteilung

x = dbinom(0:40, size = 40, p = 0.5) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Beispiel 2 - Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Urne befinden sich \(N\) durchnummerierte Kugel, \(K\) rote mit Nummern \(1,\dots,K\) und \(N-K\) weisse. Es wird eine Stichprobe von \(n\) Kugeln durchgeführt, ohne Zurücklegen.

  • \(\Omega = \{\omega=(\omega_1,\dots, \omega_n): 1\le \omega_i \le N, \omega_i\neq\omega_j \text{wenn}i\neq j\}\)
  • Laplace Modell: \(P(A)=|A|/|\Omega|= |A|/(N(N-1)\dots (N-K+1))\).

Beispiel 2 - Fortsetzung

Zufallsvariablen auf \(\Omega\):

  • \(R_i = 1\), wenn \(i\). Kugel rot ist, und \(R_i = 0\) sonst.

  • \(X = \sum_{i=1}^N R_i =\) Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe.

Wir haben gezeigt, dass \(X\) hypergeometrisch-verteilt ist, d.h.

\[P(X=k) =\frac{\binom n k \binom{N-K}{n-k}}{\binom N n} \quad k=\max(0,n-(N-K)), \dots, \min(n,K).\]

Hypergeometrische Verteilung

x = dhyper(0:40, m = 5, n = 35, k = 10) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Notation in R ist unterschiedlich als in der Vorlesung:

  • m = Anzahl roter Kugeln \(= K\)
  • n = Anzahl weisser Kugeln \(= N-K\)
  • k = Anzahl gezogener Kugeln \(=n\)

Hypergeometrische Verteilung

x = dhyper(0:40, m = 15, n = 25, k = 10) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Notation in R ist unterschiedlich als in der Vorlesung:

  • m = Anzahl roter Kugeln \(= K\)
  • n = Anzahl weisser Kugeln \(= N-K\)
  • k = Anzahl gezogener Kugeln \(=n\)

Hypergeometrische Verteilung

x = dhyper(0:40, m = 20, n = 20, k = 20) 
barplot(x, names.arg=c(0:40))

Notation in R ist unterschiedlich als in der Vorlesung:

  • m = Anzahl roter Kugeln \(= K\)
  • n = Anzahl weisser Kugeln \(= N-K\)
  • k = Anzahl gezogener Kugeln \(=n\)