Wir betrachten eine zufällige Bewegung eines Teilchens, das sich auf \(\mathbb Z\) bewegt und nur Schritte +1, und -1 macht, mit der gleichen W-keit. Die Anzahl der Schritte ist \(N\). Wir betrachten daher das Laplace-Modell

• \(\Omega = \{(\omega_1, \dots, \omega_N): \omega_i \in \{-1,1,\}\}\).
• \(P(A) = 2^{-N} |A|\)

Wir definieren für \(k\le N\):

• \(X_k(\omega) = \omega_k\) = die Richtung des k. Schrittes
• \(S_k= \sum_{i=1}^k X_k\) = Position nach \(k\) Schritten. (\(S_0=0\))

Die folge \(S_0,S_1,\dots, S_N\) heisst einfache Irrfahrt mit \(N\) Schritten.

Wir haben gezeigt, dass

Satz. Für ein festes \(k \in \{0,\dots, n\}\) nimmt \(S_k\) die Werte in \(\{-k, -k+2, \dots, k-2, k\}\) mit W-keiten

\[ P(S_k = x ) = 2^{-k} \binom k {\frac {k+x}2}.\]

Mit Hilfe der Formell von Stirling haben wir die Irrfahrt genauer analisiert:

Satz. Es gibt eine Folge \((\delta_n)_{n\ge 0}\) mit \(\lim_{n\to\infty} \delta_n =0\), so dass für jedes gerade \(n\le N\)

\[ P(S_n = 0) = \sqrt{\frac{2}{\pi n}} (1+\delta_n).\]

Betrachte die folgenden ZV’n:

• \(M_k = \max\{S_0,\dots,S_k\}\) = Maximum des Pfades der Irrfahrt nach \(k\) Schritten,
• \(T_a = \min\{k\in \{1,\dots, N\}: S_k = a\}\) = die erste Zeit, wenn \(a\in \mathbb Z\) erreicht wird.

Behauptung. Für jedes \(n,a\in \{1,\dots,N\}\) gilt

\[ P(M_n\ge a) = P(T_a \le n). \]

Satz. Für jedes \(a\in \{1,2,\dots\}\), \(b\le a\), \(b\in \mathbb Z\) ist

\[ P(T_a\le n \text{ und } S_n = b) = P(S_n = 2a-b ).\]

Korollar. (Verteilung von \(T_a\) und \(M_n\))

Für \(0< a,n \le N\) gilt

\[P(T_a \le n )= P(M_n\ge a) = P(S_n \notin (-a,a]).\]