Definition. Sei \((\Omega, \mathcal A, P)\) ein (diskreter) W-Raum und \(B\in \mathcal A\) ein Ereignis mit \(P(B)>0\). Die bedingte W-keit von \(A\) gegeben \(B\) ist

\[ P(A|B) = \frac {P(A\cap B)}{P(B)}. \]

Satz. Die Abbildung \(A\mapsto P(A|B)\) ist ein neues W-Mass auf \(\Omega\).

Satz. Sei \(B_1,\dots,B_n\) eine Zerlegung von \(\Omega\), (d.h. \(B_i\cap B_j=\emptyset\) falls \(i\neq j\) und \(B_1\cup\dots\cup B_n = \Omega\)). Dann, für beliebiges \(A\),

\[\begin{split} &P(A) = &\sum_{\substack{i\in \{1,\dots,n\}\\P(B_i)>0}} P(A|B_i)P(B_i). \end{split}\]

Satz. Für beliebige Ereignisse \(A_1,\dots,A_n\) mit \(P(A_1\cap \dots\cap A_n)>0\) gilt, dass

\[ P(A_1\cap \dots \cap A_n ) = \phantom{AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAaaa} \\ = P(A_1) P(A_1|A_2) P(A_3| A_1\cap A_2) \dots P(A_n| A_1\cap \dots \cap A_{n-1}).\]

Satz.

• Seien \(A\) und \(B\) zwei Ereignisse mit \(P(A)>0\), \(P(B)>0\), dann

\[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}. \]

• Sei \(A\) ein Ereigniss mit \(P(A)>0\) und \(B_1,\dots, B_n\) eine Zerlegung von \(\Omega\). Dann, für beliebiges \(i\le n\),

\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) P(B_i)}{\sum_{\substack{j=\{1,\dots,n\}\\P(B_j)>0}} P(A|B_j) P(B_j)}. \]

W-keit, dass eine zufällig gewählte Person krank ist, ist \(\frac 1 {145}\). Man macht ein Test, der die Krankheit entdecken kann, der aber nicht fehlerfrei ist. Für

• \(B = \{\text{Person krank}\}\)
• \(A = \{\text{Test positiv}\}\)

nehmen wir an, dass \(P(A|B)=0.96\) und \(P(A^c|B^c)= 0,94\).

Dann, mit Hilfe der Bayesschen Regel,

\[ P (B|A) = \frac{ P(A|B) P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|B^c) P(B^c)} \]

\[ = \frac{ \frac {96}{100} \frac 1{145}} { \frac {96}{100} \frac 1{145} + \frac 6{100} \frac {144}{145}} = 0.1. \]

D.h. bei einem positiven Test, ist die W-keit krank zu sein nur 0.1.