Weil der Gegensatz von “Mindestens ein” “Kein” ist, haben wir

Satz. Sei \(A_1,\dots,A_n\) eine unabhängige Kollektion von ZVn. Dann

\[P(A_1 \cup \dots \cup A_n ) = 1- P(A_1^c \cap \dots \cap A_n^c) \\ = 1- P(A_1^c) \dots P(A_n^c) = 1- (1- P(A_1))\dots (1-P(A_n))\].

Ein Gerät besteht aus Bausteinen \(T_1\), \(T_n\) bei denen unabhängig Defekte eintreten können.

Sei \(A\) das Ereigniss “das Gerät funktioniert”, \(A_i\) das Ereigniss “Bauelement \(T_i\) funktioniert”, und setze \(p_i = P(A_i)\), \(i=1,\dots, n\).

Ob das gesammte Gerät funktioniert hängt von der Konstruktion des Geräts ab. Wenn \(n=2\) gibt es grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten:

• Serienschaltung. Das Gerät funktioniert, wenn beide Bauteile Funktionieren:

\[ P(A) = P(A_1 \cap A_2) = p_1 p_2 \]

• Parallelschaltung (Redundanz). Das Gerät funktioniert wenn mindestens ein Bauteil funktioniert:

\[ P(A) = P(A_1 \cup A_2) = 1- (1-p_1)(1-p_2)\]

Definition. Zwei Zufallsvariablen \(X\), \(Y\) auf dem gleichen (diskreten) W-Raum heissen unabhängig, fals die Ereignisse \(\{\omega:X(\omega)=x\}\) und \(\{\omega:Y(\omega)=y\}\) unabhängig sind für alle \(x\in \Omega_X\) und \(y\in \Omega_Y\).

Bemerkung. Die Definition verlangt, dass

\[ P(X=x,Y=y)= P(X=x) P(Y=y) \qquad \forall x\in \Omega_X, y\in \Omega_Y.\]