Definition. Zufallsvariablen \(X_1,\dots,X_n\) heissen unabhängig falls die Ereignisse \(\{X_i=x_i\}\), \(i=1,\dots,n\), unabhängig sind für alle \(x_i\in \Omega_{X_i}\), \(i=1,\dots,n\).

Satz. Die ZV’n \(X_1,\dots,X_n\) sind genau dann unabhängig, wenn

\[ P(X_1\in A_1,\dots, X_n\in A_n) = P(X_1\in A_1) \dots P(X_n\in A_n) \]

für alle \(A_1,\dots,A_n \subset \mathbb R\).

Wir nehmen an, das \((\Omega_i,\mathcal A_i,P_i)\), \(i=1,\dots, n\), gewisse \(n\) zufällige Experimente modellieren, und wollen ein Modell für den Vorgang konstruieren, welches aus der “unabhängigen” Durchführung dieser Teilexperimente besteht.

Definition. (Produkt von diskreten W-Räumen) Seien \((\Omega_i,\mathcal A_i,P_i)\), \(i=1,\dots, n\), diskrete W-Räume (mit \(\mathcal A_i = \mathcal P(\Omega_i)\)). Das Produkt dieser Räume ist ein W-Raum \((\Omega,\mathcal A, P)\), wobei

• \(\Omega = \Omega_1 \times \dots \Omega_n := \{(\omega_1,\dots,\omega_n): \omega_i\in \Omega_i, 1\le i\le n\}\) ist Produkt von den Mengen \(\Omega_1,\dots,\Omega_n\).

• \(\mathcal A = \mathcal P(\Omega)\).

• \(P = P_1 \otimes \dots \otimes P_n\) ist ein Produktmass definiert durch:

\[ P(A_1 \times \dots \times A_n) = P_1(A_1)\dots P_n(A_n), \qquad \text{für alle } A_1\in \mathcal A_1, \dots, A_n\in \mathcal A_n.\]

Man muss gewährleisten, dass das Produktmass wirklich ein W-Mass ist.

Satz. Die Formell für \(P\) auf der letzten Seite definiert ein W-Mass auf \((\Omega, \mathcal A)\).

Beispiel. (Wurf mit \(n\) unabhängigen, nicht identischen, unfairen Münzen)

Für \(i=1,\dots, n\) modellieren \(\Omega_i=\{0,1\}\) und \(P_i(\{1\}) = 1-P_i(\{0\}) = p_i\) einen Wurf mit einer Münze mit “Zahlw-keit” \(p_i\in [0,1]\).

Das Modell für den gesamten Vorgang ist dann \(\Omega = \{0,1\}^n\) mit

\[ P((\omega_1,\dots \omega_n))= \prod_{ i=1 }^{n} p_i^{\omega_i}(1-p_i)^{1-\omega_i}. \]

Im Fall, dass \(p_i=p\in[0,1]\) für alle \(i=1,\dots, n\), haben wir dann \[ P((\omega_1,\dots \omega_n))= p^{k(\omega)} (1-p)^{k(\omega)}, \] wobei \(k(\omega)\) die Anzahl von Indizes \(i\in \{1,\dots, n\}\) mit \(\omega_i=1\) ist.

Wir erklären jetzt der Zusammenhang von Produktexperimenten und Unabhängigkeit.

Satz. Seien \((\Omega,\mathcal A, P)\) der Produktraum und \(A_i\in \mathcal A_i\), \(i=1,\dots,n\), Ereignisse in den Teilräumen. Dann ist die Kollektion \(\{\omega= (\omega_1,\dots,\omega_n): \omega_i\in A_i)\}\) von Ereignissen in \(\mathcal A\) unabhängig.

Wir wollen jetzt diesen Zusammenhang in der anderen Richtung untersuchen. Dafür brauchen wir

Definition. Seien \(X,Y\) zwei Zufallsvariablen auf einem beliebigen (diskreten) W-Raum \((\Omega, \mathcal A, P)\). Die gemeinsame Verteilung von \(X,Y\) ist ein W-Mass \(P_{X,Y}\) auf \(\Omega_{X,Y} = \Omega_X \times \Omega_Y\subset \mathbb R^2\) definiert durch

\[ P_{X,Y}((x,y)) := P(X=x,Y=y) = P(\{\omega: X(\omega)=x, Y(\omega)=y\}) \]

für alle \(x\in \Omega_X\) und \(y\in \Omega_y\).

Beispiel. (Wurf mit zwei fairen Münzen)

Wir betrachten wie üblich die Zufallsvariablen \(X_1(\omega) = \omega_1\), \(X_2(\omega) = \omega_2\) und \(S=X_1+X_2\). Die gemeinsame Verteilung von \(X_1\) und \(S\) ist gegeben durch

\[ P_{X_1,S}((x,y)) = \begin{cases} \frac 14,\qquad&\text{falls } (x,y) \in \{(0,0),(0,1),(1,1),(1,2)\},\\ 0,&\text{falls }(x,y) \in \{(1,0),(0,2)\}. \end{cases} \]