Satz. Die Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) genau dann unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilung das Produkt von den Verteilungen von \(X\) und \(Y\) (Randverteilungen), d.h.
\[ P_{X,Y}= P_X \otimes P_Y.\]
11. Vorlesung, 22. Oktober 2019
Satz. Die Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) genau dann unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilung das Produkt von den Verteilungen von \(X\) und \(Y\) (Randverteilungen), d.h.
\[ P_{X,Y}= P_X \otimes P_Y.\]
Wir haben gesehen, dass Erwartungswert einer Zufallsvariable \(X\),
\[ EX = \sum_{\omega\in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) = \sum_{x\in \Omega_X} P(X=x), \]
den “Mittelwert der Verteilung von \(X\)” charakterisiert. Wir definieren jetzt eine andere Quantität, die beschreibt wie weit “typisch” \(X\) von dem Erwartungswert \(EX\) entfernt ist.
Definition. Sei \(X\) eine Zufallsvariable auf einem (diskreten) W-Raum \((\Omega,\mathcal A, P)\). Die Varianz von \(X\) ist gegeben durch
\[ \mathop{\mathrm{Var}}X = E\big( (X-EX)^2 \big) = \sum_{ \omega \in \Omega} \big(X(\omega)- EX\big)^2P(\{\omega\}) \in [0,\infty].\]
Die Quantität \(s_X := \sqrt{\mathop{\mathrm{Var}}X}\) heisst Standardabweichung von \(X\).
Lemma. Wenn \(\mathop{\mathrm{Var}}X <\infty\), dann
\[ \mathop{\mathrm{Var}}X = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2. \]